Exercice Math NS4 : Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés

Pour montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, nous pouvons utiliser le fait qu’ils ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire que les vecteurs AB et AC ne sont pas proportionnels. Si AB et AC ne sont pas proportionnels, alors les points A, B et C ne peuvent pas être alignés.

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés :

Pour démontrer cela, nous allons calculer les vecteurs AB et AC, puis vérifier s’ils sont proportionnels.

AB = B – A = (4, -1, 5) – (2, 1, 3) = (4 – 2, -1 – 1, 5 – 3) = (2, -2, 2)

AC = C – A = (4, 2, -7) – (2, 1, 3) = (4 – 2, 2 – 1, -7 – 3) = (2, 1, -10)

Maintenant, nous allons vérifier si AB et AC sont proportionnels en calculant le rapport de leurs composantes correspondantes :

AB/AC = (2/2, -2/1, 2/(-10)) = (1, -2, -1/5)

Comme AB/AC n’est pas une constante (il a des composantes différentes), cela signifie que les vecteurs AB et AC ne sont pas proportionnels. Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Calculer les coordonnées des points tels que :

a) D vérifie 2AB + 2AD = BC ;

Nous pouvons utiliser cette équation pour trouver les coordonnées de D. Tout d’abord, réarrangeons l’équation :

2AD = BC – 2AB

AD = (BC – 2AB)/2

Maintenant, calculons AD :

AD = [(4, 2, -7) – 2(2, -2, 2)]/2

AD = [(4, 2, -7) – (4, -4, 4)]/2

AD = (4 – 4, 2 + 4, -7 – 4)/2

AD = (0, 6, -11)/2

AD = (0, 3, -5.5)

Donc, les coordonnées de D sont (0, 3, -5.5).

b) E est le milieu de [BC] ;

Le point E est le milieu du segment [BC]. Pour trouver ses coordonnées, nous pouvons utiliser la formule du milieu, qui consiste à prendre la moyenne des coordonnées de B et C.

E = (1/2)(B + C)

E = (1/2)((4, -1, 5) + (4, 2, -7))

E = (1/2)((8, 1, -2))

E = (4, 1/2, -1)

Les coordonnées de E sont donc (4, 1/2, -1).

c) F est le centre de gravité du triangle ABC ;

Le centre de gravité G d’un triangle ABC est défini comme le point d’intersection des médianes, qui sont les segments reliant chaque sommet au milieu du côté opposé. Pour trouver F, nous pouvons utiliser la formule :

F = (1/3)(A + B + C)

F = (1/3)((2, 1, 3) + (4, -1, 5) + (4, 2, -7))

F = (1/3)((10, 2, 1))

F = (10/3, 2/3, 1/3)

Les coordonnées de F sont donc (10/3, 2/3, 1/3).

d) G vérifie 3GA – 2GB = GC ;

Nous pouvons utiliser cette équation pour trouver les coordonnées de G. Réarrangeons l’équation comme suit :

3GA = 2GB + GC

GA = (2GB + GC)/3

Maintenant, calculons GA :

GA = [2(4, -1, 5) + (4, 2, -7)]/3

GA = [(8, -2, 10) + (4, 2, -7)]/3

GA = [(12, 0, 3)]/3

GA = (4, 0, 1)

Les coordonnées de G sont donc (4, 0, 1).